例1.已知点A（2,3,0）、B（－1,0,2）、C（0,1,1）,求平面ABC的法向量. 　　解析：向量AB=（-3,-3,2）,AC=（-2,-2,1）, 　　　设平面ABC的法向量为n=（x,y,z） 　　　则n与AB,AC都垂直,得方程组 　　　,解得 　　　从而n=（x,-x,0）,可取一个法向量为n=（1,-1,0） 　　2.求证A（3,0,5）,B（2,3,0）,C（0,5,0）,D（1,2,5）四点共面. 　　解析： 　　法一：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5）,AD=（-2,2,0） 　　　设AD=xAB+yAC,得方程组,解得 　　　由共面向量定理,四点共面. 　　法二：AB=（-1,3,-5）,AC=（-3,5,-5） 　　　设平面ABC的法向量为n=（x,y,z） 　　　则n与AB,AC都垂直,得方程组 　　　,解得 　　　从而可取一个法向量为n=（5,5,2） 　　　n=（5,5,2）与AD=（-2,2,0）的数量积为0.从而n与AD垂直 　　　说明AD与AB,AC共面, 　　　又有公共点A,所以四点共面. 　　法三：AB=（-1,3,-5）,CD=（1,-3,5） 　　　AB,CD平行,所以四点共面. 　　注意：法一中方程组要用两个方程解,一个方程验.在向量共面的基础上再利用有公共点得出四点共面. 　　3．在正方体中,求证：是平面的法向量. 　　解析： 　　法一：,因此是平面的法向量. 　　法二：如图建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1. 　　　则A（1,0,0）,B1（1,1,1）,C（0,1,0）, 　　　D（0,0,0）,D1（0,0,1） 　　　向量AD1=（-1,0,1）,AC=（-1,1,0）, 　　　设平面的法向量为n=（x,y,z）,则得方程组 　　　,解得 　　　从而可取一个法向量为n=（1,1,1） 　　　另一方面,DB1=（1,1,1） 　　　因此是平面的法向量. 　　4．用向量法证明：如果两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行． 　　已知：直线OA⊥平面α,直线BD⊥平面α,O、B为垂足． 　　求证：OA//BD． 　　证明：以点O为原点,以射线OA为非负z轴, 　　　建立空间直角坐标系O-xyz,i,j,k为沿x轴,y轴,z轴的坐标向量, 　　　且设＝． 　　　∵BD⊥α,∴⊥i,⊥j, 　　　∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0, 　　　·j＝·(0,1,0)＝y＝0, 　　　∴＝(0,0,z)．∴＝zk,即//k． 　　　由已知O、B为两个不同的点,∴OA//BD． 　　5．如图正方体ABCD-中,E、F、G分别是、AB、BC的中点． 　　（1）证明：⊥EG； 　　（2）证明：⊥平面AEG； 　　（3）求, 　　　 　　解析：以D为原点,DA、DC、所在的直线分别为x、y、z轴, 　　　建立空间直角坐标系,设正方体棱长为a, 　　　则D（0,0,0）,A（a,0,0）,B（a,a,0）,（0,0,a）, 　　　E（a,a,）,F（a,0）,G（,a,0）． 　　　（1）,-a）,0, 　　　∵, 　　　∴． 　　　（2）,a,）, 　　　∴． 　　　∴,∵, 　　　∴平面AEG． 　　　（3）由,a,）,＝（a,a,） 　　　 　　6．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中,E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点,求证：平面A1EF∥平面B1MC． 　　证明：如图建立空间直角坐标系, 　　　则＝（－1,1,0）,＝（－1,0,－1） 　　　＝（1,0,1）,＝（0,－1,－1） 　　　设, 　　　（、、,且均不为0） 　　　设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量, 　　　由可得,即 　　　解得：＝（1,1,－1） 　　　由可得,即 　　　解得＝（－1,1,－1）,所以＝－,∥, 　　　所以平面A1EF∥平面B1MC． 　　注意：如果求证的是两个平面垂直,也可以求出两个平面的法向量后,利用⊥来证明． 　　7．在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角． 　　（1）若AE⊥PD,E为垂足,求证：BE⊥PD； 　　（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值． 　　解析： 　　（1）证明：∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB, 　　　又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD． 　　　又∵AE⊥PD,∴PD⊥平面ABE, 　　　故BE⊥PD． 　　（2）以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 　　则点C、D的坐标分别为（a,a,0）,（0,2a,0）． 　　∵PA⊥平面ABCD,∠PDA是PD与底面ABCD所成的角,∴∠PDA=30°． 　　于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a． 　　过E作EF⊥AD,垂足为F, 　　在Rt△AFE中,由AE=a,∠EAF=60°,得AF=,EF=a, 　　∴E（0,a） 　　于是,=（－a,a,0） 　　设与的夹角为θ,则由 　　cosθ= 　　AE与CD所成角的余弦值为． 　　注意：第（2）小题中,以向量为工具,利用空间向量坐标及数量积,求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 　　8.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面ABCD是直角梯形,∠A是直角,AB∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线与DC所成角的大小. 　　解析：如图,以D为坐标