问题标题:
【在学习了正方形后,数学小组的同学对正方形进行了探究,发现:(1)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合),点F在线段AE上,过点F的直线MN⊥AE,分别交AB、CD于】
问题描述:

在学习了正方形后,数学小组的同学对正方形进行了探究,发现:

(1)如图1,在正方形ABCD中,点E为BC边上任意一点(点E不与B、C重合),点F在线段AE上,过点F的直线MN⊥AE,分别交AB、CD于点M、N.此时,有结论AE=MN,请进行证明;

(2)如图2:当点F为AE中点时,其他条件不变,连接正方形的对角线BD,MN 与BD交于点G,连接BF,此时有结论:BF=FG,请利用图2做出证明.

(3)如图3:当点E为直线BC上的动点时,如果(2)中的其他条件不变,直线MN分别交直线AB、CD于点M、N,请你直接写出线段AE与MN之间的数量关系、线段BF与FG之间的数量关系.

宋彦坡回答:
  证明:(1)在图1中,过点D作PD∥MN交AB于P,则∠APD=∠AMN,   ∵正方形ABCD,   ∴AB=AD,AB∥DC,∠DAB=∠B=90°,   ∴四边形PMND是平行四边形且PD=MN,   ∵∠B=90°,   ∴∠BAE+∠BEA=90°,   ∵MN⊥AE于F,   ∴∠BAE+∠AMN=90°,   ∴∠BEA=∠AMN=∠APD,   又∵AB=AD,∠B=∠DAP=90°,   ∴△ABE≌△DAP,   ∴AE=PD=MN;          (2)在图2中,连接AG、EG、CG,   由正方形的轴对称性△ABG≌△CBG,   ∴AG=CG,∠GAB=∠GCB,   ∵MN⊥AE于F,F为AE中点,   ∴AG=EG,   ∴EG=CG,∠GEC=∠GCE,   ∴∠GAB=∠GEC,   由图可知∠GEB+∠GEC=180°,   ∴∠GEB+∠GAB=180°,   又∵四边形ABEG的内角和为360°,∠ABE=90°,   ∴∠AGE=90°,   在Rt△ABE 和Rt△AGE中,AE为斜边,F为AE的中点,   ∴BF=12
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