问题标题:
如图,已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD,若椭圆以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,椭圆的离心率为______.
问题描述:
如图,已知AB=2c(常数c>0),以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且AB∥CD,若椭圆以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,椭圆的离心率为______.
高克伟回答:
设∠BAC=θ,过C作CE⊥AB,垂足为E,则
BC=2csinθ,EB=BCcos(90°-θ)=2csin2θ,∴CD=2c-4csin2θ,
梯形的周长l=AB+2BC+CD=2c+4csinθ+2c-4csin2=-4c(sinθ-12
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