问题标题:
【是否存在常数abc,使等式1²+2²+3²+~~n²=an³+bn²+cn对一切正数都成立用数学归纳法证明】
问题描述:
是否存在常数abc,使等式1²+2²+3²+~~n²=an³+bn²+cn对一切正数都成立
用数学归纳法证明
郭焱回答:
存在.a=1/3b=1/2c=1/6
证明:1)当n=1时左边=1右边=1/3+1/2+1/6=1等式成立;
当n=2时左边=1+4=5右边=(1/3)*8+(1/2)*4+(1/6)*2=5等式也成立;
同理,当n分别为3,4,5,...时等式仍成立.
2)设等式当n=k时成立,即1²+2²+3²+...+k²=k³/3+k²/2+k/6
则当n=k+1时1²+2²+3²+...+k²+(k+1)²=k³/3+k²/2+k/6+(k+1)²
=k³/3+k²/2+k/6+k²+2k+1
=k³/3+k²/2+k/6+k²+k+k+1/3+1/2+1/6
=(k³/3+k²+k+1/3)+(k²/2+k+1/2)+(k/6+1/6)
=(k³+3k²+3k+1)/3+(k²+2k+1)/2+(k+1)/6
=(k+1)³/3+(k+1)²/2+(k+1)/6
∴等式仍然成立
∴等式对于一切正数都成立.
贺仁栋回答:
(⊙o⊙)…呵呵,这样做没有表明怎样猜想出来的,14分的题目要扣11分,唉唉
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