问题标题:
【已知函数f(x)=lnx,g(x)={(1/2)x^2}+a的图像(a为常数),直线L与函数f(x)g(x)图像相切,且L与f(x)相切点的横坐标为1求:f(1+x^2)—g(x)=k的解的个数】
问题描述:

已知函数f(x)=lnx,g(x)={(1/2)x^2}+a的图像(a为常数),直线L与函数f(x)g(x)图像相切,且L与f(x)相切点

的横坐标为1求:f(1+x^2)—g(x)=k的解的个数

施妙和回答:
  切点F(1, 0)   f'(x) = 1/x, f'(1) = 1/x = 1   g'(x) = x = 1   g(1) = 1/2 + a = f(1) = 0   a = -1/2   g(x) = (x² - 1)/2   h(x) = f(1 + x²) - (x² - 1)/2 = ln(1+ x²) - (x² - 1)/2   h'(x) = 2x/(1 + x²) - x   = x(1 - x²)/(1 + x²) = 0   x = -1, x = 0, x = 1   x < -1: h'(x) > 0   -1 < x < 0: h'(x) < 0   0 < x < 1: h'(x) > 0   x > 1: h'(x) < 0   h(1) = h(-1) = ln2为最大值   h(0) = 1/2为极小值   (i) k > ln2时,f(1 + x²) - g(x) = k无解   (ii) k = ln2时, f(1 + x²) - g(x) = k有二解(x = ±1)   (iii) 1/2 < k < ln2时, f(1 + x²) - g(x) = k有4解   (iv) k = 1/2时, f(1 + x²) - g(x) = k有3解   (v) k < 1/2时, 时, f(1 + x²) - g(x) = k有2解
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