问题标题：
北大08自主招生数学的一道不等式题已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若已知min{a1,a2,a3}不大于min{b1,b2,b3},求证：max{a1,a2,a3}不大于maz{b1,b2,b3}.参考方法用了构造……
问题描述：
北大08自主招生数学的一道不等式题
已知a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2a3+a3a1=b1b2+b2b3+b3b1,若已知min{a1,a2,a3}不大于min{b1,b2,b3},求证：max{a1,a2,a3}不大于maz{b1,b2,b3}.
参考方法用了构造……
宋晓宁回答：
证明：记
f(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3),g(x)=(x-b1)(x-b2)(x-b3)
由题设易知
f(x)-g(x)=b1b2b3-a1a2a3=d(记为d)
记a=min{a1,a2,a3},b=min{b1,b2,b3},A=max{a1,a2,a3},B=max{b1,b2,b3}
有f(a)=0,由a≤b易知g(a)=(a-b1)(a-b2)(a-b3)≤0
从而有d=f(a)-g(a)≥0
因为g(x)在x≥B时是个单调递增函数,而g(B)=0,从而有
g(x)>0,任意x>B
因此x>B时,f(x)=g(x)+d>0
而f(A)=0,所以A不可能大于B,因此A≤B.
证毕.
查看更多
八字精批
八字合婚
八字起名
八字财运
2024运势
测终身运
姓名详批
结婚吉日
