问题标题:
高二数学,等差数列设{an}是正数组成数列,其前n项和为Sn.n∈N*,都有8Sn=(an+2)².(1)写出数列{an}的前3项(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
问题描述:

高二数学,等差数列

设{an}是正数组成数列,其前n项和为Sn.n∈N*,都有8Sn=(an+2)².

(1)写出数列{an}的前3项

(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)

林云峰回答:
  ∵8Sn=(an+2)²(1).   ∴8S(n-1)=[a(n-1)+2]²(2)   (1)-(2)有:   8[Sn-S(n-1)]=(an)²-a²(n-1)+4[an-a(n-1)]=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]+4[an-a(n-1)]   8an=[an+a(n-1)+4][an-a(n-1)](3)   由(1)令n=1有8S1=8a1=(a1+2)²(a1)²-4a1+4=0(a1-2)²=0a1=2   令n=2代入(3)有   8a2=[a2+a1+4][a2-a1]=[a2+6][a2-2](a2)²-4a2-12=0(a2+2)(a2+6)=0∵an>0   ∴a2=6   同理令n=3代入(3)经过化简得(a3)²-4a3-60=0(a3+6)(a3-10)=0a3=10   (2)令n=4同理可以得到a4=14观察前4项2、6、10、14可以发现后项减前项均等于4.   所以此数列为公差等于4的等差数列.   a2-a1=4   a3-a2=4   a4-a3=4   .   an-a(n-1)=4   总共有(n-1)个等式,将(n-1)个等式左边加左边,右边加右边,消去左边中间项就有:   an-a1=4(n-1)   ∴an=4(n-1)+2=4n-2
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