问题标题:
高二数学,等差数列设{an}是正数组成数列,其前n项和为Sn.n∈N*,都有8Sn=(an+2)².(1)写出数列{an}的前3项(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
问题描述:
高二数学,等差数列
设{an}是正数组成数列,其前n项和为Sn.n∈N*,都有8Sn=(an+2)².
(1)写出数列{an}的前3项
(2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程)
林云峰回答:
∵8Sn=(an+2)²(1).
∴8S(n-1)=[a(n-1)+2]²(2)
(1)-(2)有:
8[Sn-S(n-1)]=(an)²-a²(n-1)+4[an-a(n-1)]=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]+4[an-a(n-1)]
8an=[an+a(n-1)+4][an-a(n-1)](3)
由(1)令n=1有8S1=8a1=(a1+2)²(a1)²-4a1+4=0(a1-2)²=0a1=2
令n=2代入(3)有
8a2=[a2+a1+4][a2-a1]=[a2+6][a2-2](a2)²-4a2-12=0(a2+2)(a2+6)=0∵an>0
∴a2=6
同理令n=3代入(3)经过化简得(a3)²-4a3-60=0(a3+6)(a3-10)=0a3=10
(2)令n=4同理可以得到a4=14观察前4项2、6、10、14可以发现后项减前项均等于4.
所以此数列为公差等于4的等差数列.
a2-a1=4
a3-a2=4
a4-a3=4
.
an-a(n-1)=4
总共有(n-1)个等式,将(n-1)个等式左边加左边,右边加右边,消去左边中间项就有:
an-a1=4(n-1)
∴an=4(n-1)+2=4n-2
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