问题标题:
如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线解析式及点D坐标;(2)点E在x轴
问题描述:

如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.

段发阶回答:
  (1)y=﹣x2+x+2,点D坐标为(3,2)(2)p1(0,2);p2(,﹣2);p3(,﹣2)(3)点P坐标为(,),(﹣,).      试题分析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,   ∴,   解得:   ∴y=﹣x2+x+2;   当y=2时,﹣x2+x+2=2,解得:x1=3,x2=0(舍),   即:点D坐标为(3,2).   (2)A,E两点都在x轴上,AE有两种可能:   ①当AE为一边时,AE∥PD,   ∴P1(0,2),   ②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,   可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等,   ∴P点的纵坐标为﹣2,   代入抛物线的解析式:﹣x2+x+2=﹣2   解得:x1=,x2=,   ∴P点的坐标为(,﹣2),(,﹣2)   综上所述:p1(0,2);p2(,﹣2);p3(,﹣2).   (3)存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方,设直线PQ交x轴于F,   点P的坐标为(a,﹣a2+a+2),   ①当P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a,   PQ=2﹣(﹣a2+a+2)=a2﹣a,   又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,   ∴∠FQ′P=∠OCQ′,   ∴△COQ′~△Q′FP,,,   ∴Q′F=a﹣3,   ∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣(a﹣3)=3,CQ=CQ′==,   此时a=,点P的坐标为(,),   ②当P点在y轴左侧时(如图2)此时a<0,,﹣a2+a+2<0,CQ=﹣a,   PQ=2﹣(﹣a2+a+2)=a2﹣a,   又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠CQ′O+∠OCQ′=90°,   ∴∠FQ′P=∠OCQ
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