问题标题：
【设球的直径均匀分布在区间[a,b]内,则球的体积的数学期望是.】
问题描述：
设球的直径均匀分布在区间[a,b]内,则球的体积的数学期望是.
李振回答：
设直径x,是[a,b]上服从均匀分布的随机变量.求球的体积v=πx³/6的数学期望：E(v)=?
x的概率密度函数：f(x)=1/(b-a)x:[a,b]
f(x)=0其它x
E(v)=∫(b,a)πx³/6/(b-a)dx
=π/[6(b-a)]∫(b,a)x³dx
=π/[24(b-a)]x^4|(b,a)
=π/[24(b-a)](b^4-a^4)
=π(a+b)(a²+b²)/24（1）
即球体体积的数学期望：E(v)=π(a+b)(a²+b²)/24
设想：当a=b时,(1)式变成：
E(v)=πa³/6
这恰是直径为a的球的体积!也证明了结果(1)的正确性.
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