问题标题:
【求lim[ntan(1/n)]^n^2的极限,n趋向无穷,最好用洛必达法则来求答案是e^(1/3)】
问题描述:

求lim[ntan(1/n)]^n^2的极限,n趋向无穷,最好用洛必达法则来求

答案是e^(1/3)

彭志红回答:
  [ntan(1/n)]^n^2=e^{n^2ln[ntan(1/n)]}   又tan(1/n)和1/n是等价无穷小,所以limntan(1/n)=1   所以limln[ntan(1/n)]=0   所以构成不定型   由于f(n)是f(x)的子列,故把n换为x,若f(x)有极限,则f(n)也有极限   原式   limn^2ln[ntan(1/n)]=limx^2ln[xtan(1/x)]=lim[lnx+lntan(1/x)]/(1/x^2)   换元t=1/x,t→0   原式=lim[-lnt+lntant]/t^2   洛必达法则   =lim[-1/t+1/(sintcost)]/(2t)   =lim(t-sintcost)/(2t^2sintcost)   又limcost=1,sint是t的等价无穷小,因此   =lim(t-sintcost)/(2t^3)   洛必达法则   =lim(1-cos2t)/(6t^2)=lim(sint)^2/3t^2=1/3   所以原极限为e^(1/3)
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