问题标题:
高二的一道数学题,有定点P(6.4)及定直线L:Y=4X,点Q是直线L上且在第一象限内的点,直线PQ交X轴的正半轴于点M,则点Q在什么位置时三角形OMQ的面积最小?
问题描述:
高二的一道数学题,
有定点P(6.4)及定直线L:Y=4X,点Q是直线L上且在第一象限内的点,直线PQ交X轴的正半轴于点M,则点Q在什么位置时三角形OMQ的面积最小?
胡庆红回答:
设Q点坐标为(q,4q);则直线PQ方程为
y-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
令y=0,得到
-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),
-1=(q-1)(x-6)/(q-6);
x=6-(q-6)/(q-1)=5q/(q-1);
此即为它于X轴的焦点的横坐标;
所以所围三角形的底长5q/(q-1),高为4q;
面积为20q^2/[2(q-1)]=10q^2/(q-1)
只需要知道f(q)=q^2/(q-1)当何时取最小,对f(q)求导数得到
f'(q)=(2q(q-1)-q^2)/(q-1)^2
=(q^2-2q)/(q-1)^2
令f'(q)=0得到q=2或0(舍去,因为此时Q为原点,不能围成三角形)
所以q=2,Q=(2,8)
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