问题标题:
高二的一道数学题,有定点P(6.4)及定直线L:Y=4X,点Q是直线L上且在第一象限内的点,直线PQ交X轴的正半轴于点M,则点Q在什么位置时三角形OMQ的面积最小?
问题描述:

高二的一道数学题,

有定点P(6.4)及定直线L:Y=4X,点Q是直线L上且在第一象限内的点,直线PQ交X轴的正半轴于点M,则点Q在什么位置时三角形OMQ的面积最小?

胡庆红回答:
  设Q点坐标为(q,4q);则直线PQ方程为   y-4=(4q-4)(x-6)/(q-6),   令y=0,得到   -4=(4q-4)(x-6)/(q-6),   -1=(q-1)(x-6)/(q-6);   x=6-(q-6)/(q-1)=5q/(q-1);   此即为它于X轴的焦点的横坐标;   所以所围三角形的底长5q/(q-1),高为4q;   面积为20q^2/[2(q-1)]=10q^2/(q-1)   只需要知道f(q)=q^2/(q-1)当何时取最小,对f(q)求导数得到   f'(q)=(2q(q-1)-q^2)/(q-1)^2   =(q^2-2q)/(q-1)^2   令f'(q)=0得到q=2或0(舍去,因为此时Q为原点,不能围成三角形)   所以q=2,Q=(2,8)
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