问题标题:
已知函数fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0f1=1,证明:存在c属于(0,1),使得f(c)=1-c
问题描述:
已知函数fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0f1=1,证明:存在c属于(0,1)
,使得f(c)=1-c
龙连文回答:
令:F(x)=x^2*f(x)
当x=0时,F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时,F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续,F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有:2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得:-2f(g)=g*f'(g)
故:f'(g)=-2f(g)/g
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