问题标题：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=1-an（n∈N*）．各项为正数的数列{bn}中，对于一切n∈N*，有，且b1=1，b2=2，b3=3．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{a
问题描述：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=1-an（n∈N*）．各项为正数的数列{bn}中，
对于一切n∈N*，有，且b1=1，b2=2，b3=3．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{anbn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．
陈东平回答：
分析：
（1）由Sn=1-an，解得．an=Sn-Sn-1=（1-an）-（1-an-1），由此得2an=an-1，从而得到数列{an}的通项公式．对于一切n∈N*，有，当n≥2时，有，由此得（n-1）bn+1-nbn+b1=0，从而得到数列{bn}的通项公式．（2）由数列anbn的前n项和为Tn，知，再由错位相减法知==．由此能够证明Tn＜2．
（1）∵Sn=1-an，当n=1时，a1=S1=1-a1，解得．（1分）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（1-an）-（1-an-1），得2an=an-1，即．（3分）∴数列an是首项为，公比为的等比数列．∴．（4分）∵对于一切n∈N*，有，①当n≥2时，有，②1-2②得：3化简得：（n-1）bn+1-nbn+b1=0，③用n+1替换③式中的n，得：nbn+2-（n+1）bn+1+b1=0，④（6分）③-④整理得：bn+2-bn+1=bn+1-bn，∴当n≥2时，数列bn为等差数列．∵b3-b2=b2-b1=1，∴数列bn为等差数列．（8分）∵b1=1，b2=2∴数列bn的公差d=1．∴bn=1+（n-1）=n．（10分）（2）证明：∵数列anbn的前n项和为Tn，∴，⑤∴，⑥⑤-⑥得：（12分）==．∴．（14分）
点评：
本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和数列前n项和的证明，解题时要熟练掌握数列的性质和应用，注意错位相减法的灵活运用．
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