问题标题:
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C问1求出C的方程;2设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时,向量OA垂直向量OB?此时向量|AB|的值是多
问题描述:

在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,负根号3),(0,根号3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C

问1求出C的方程;2设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时,向量OA垂直向量OB?此时向量|AB|的值是多少?

潘冉回答:
  1.4>2√3,可知C为椭圆,焦点在y轴上.   c=√3,a=1,b=2.   C:x^2+y^2/4=1.   2.代入y=kx+1得4x^2+(kx+1)^2=4整理得(4+k^2)x^2+2kx-3=0.   又,向量OA垂直向量OB,设A:(x1,y1),B:(x2,y2),(x1>x2)   得x1*x2+y1*y2=0,   x1*x2=-3/(4+k^2),yi*y2=k^2*x1*x2+k(x1+x2)+1=-3k^2/(4+k^2)-2k^2/(4+k^2)+1=(4-k^2)/(4+k^2),   得(1-k^2)/(4+k^2)=0,   k=±1,   得5x^2±2x-3=0,   (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=64/25,   |AB|=√[(k^2+1)*(x1-x2)^2]=8√2/5
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