山西大学附中 　　2011-2012高三4月月考数学参考答案（理科） 　　一．选择题 　　1-5DDCDC6-10CBDBC11-12AC 　　二．填空题： 　　13.14.15.16.1.2.4 　　三．解答题： 　　17.（1）由图像知,的最小正周期,故…（2分） 　　将点代入的解析式得,又 　　故所以………………4分zxxk 　　（2）由得 　　所以……………………6分 　　因为所以………………8分 　　……………………10分 　　……………………12分 　　18．（本小题满分12分） 　　（Ⅰ）证明：设为的中点,连接,则 　　∵,,,∴四边形为正方形, 　　∵为的中点,∴为的交点, 　　∵,, 　　∵,zxxk 　　∴,, 　　在三角形中,,∴,…………4分 　　∵,∴平面；…………5分 　　(Ⅱ)方法1：连接,∵为的中点,为中点,∴, 　　∵平面,平面, 　　∴平面.…9分 　　方法2：由(Ⅰ)知平面,又,所以过分别做的平行线,以它们做轴,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系, 　　由已知得,,,,, 　　,则,,,.∴∴∵平面,平面,zxxk 　　∴平面；…………9分 　　(Ⅲ)设平面的法向量为,直线与平面所成角, 　　则,即,解得,令, 　　则平面的一个法向量为,又 　　则, 　　∴直线与平面所成角的正弦值为.…………12分 　　19.(Ⅰ)设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C. 　　则……………………………………3分 　　若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域. 　　…………………………………5分 　　即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是. 　　（Ⅱ）由题意得,该顾客可转动转盘2次. 　　随机变量的可能值为0,30,60,90,120.……zxxk………6分 　　………………………………9分 　　所以,随机变量的分布列为： 　　0306090120 　　其数学期望 　　………………………12分 　　20.（Ⅰ）由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（,0）,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为. 　　21.（理）（本小题满分12分） 　　（Ⅰ）.依题意,令,解得. 　　经检验,时,符合题意.……4分 　　（Ⅱ）①当时,.zxxk 　　故的单调增区间是；单调减区间是. 　　②当时,令,得,或. 　　当时,与的情况如下： 　　↘ 　　↗ 　　↘ 　　所以,的单调增区间是；单调减区间是和. 　　当时,的单调减区间是. 　　当时,,与的情况如下： 　　↘ 　　↗ 　　↘ 　　所以,的单调增区间是；单调减区间是和. 　　③当时,的单调增区间是；单调减区间是. 　　综上,当时,的增区间是,减区间是； 　　当时,的增区间是,减区间是和； 　　当时,的减区间是； 　　当时,的增区间是；减区间是和.zxxk 　　……10分 　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知时,在上单调递增,由,知不合题意. 　　当时,在的最大值是, 　　由,知不合题意. 　　当时,在单调递减, 　　可得在上的最大值是,符合题意. 　　所以,在上的最大值是时,的取值范围是.…………12分 　　22.如图,在Rt△ABC中,,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,． 　　（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线； 　　（2）若,求EC的长． 　　解（1）取BD的中点O,连接OE． 　　∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, 　　∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE．………………3分 　　∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是△BDE的外接圆的切线．5分 　　（2）设⊙O的半径为r,则在△AOE中, 　　,即解得,7分 　　∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°． 　　∴EC=．…………10分 　　23选修4-4：坐标系与参数方程 　　（Ⅰ）以极点为原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系.----------------1分 　　---zxxk-----2分 　　所以,该直线的直角坐标方程为：----------------3分 　　（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------4分 　　圆心到直线的距离---------------5分 　　所以,圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分 　　24选修4－5：不等式选讲 　　（Ⅰ）当时, 　　由,得, 　　①当时,不等式化为即 　　所以,原不等式的解为----------------1分 　　②当时,不等式化为即 　　所以,原不等式无解.----------------2分 　　③当时,不等式化为即 　　所以,原不等式的解为----------------3分 　　综上,原不等式的解为------zxxk-----4分 　　（说明：若考生按其它解法解答正确,相应给分） 　　（Ⅱ）因为关于的不等式有解,所以,----------------5分 　　因为表示数轴上的点到与两点的距离之和, 　　所以,----------------6分 　　解得, 　　所以,的取值范围为----------------7分